---

где эта функция удовлетворяет эти три свойства. Примечательно, что первое систематическое изучение многообразия наделены такой показатель был задержан более, чем на 60 лет. Было начато расследование такого рода, который формируется предметом диссертации Финслера в 1918 году, после которого такие пробелы в конечном итоге были названы. Казалось бы, что это новый импульс был получен почти непосредственно из вариационного исчисления, в частности, в отношении новых геометрических фон, который был введен Caratheodory в связи с проблемами в параметрической форме. Ядра этих методов является так называемый индикатрисы, а свойство выпуклости имеет принципиальное значение с учетом необходимых условий для минимума в вариационное исчисление. В самом деле, замечательное сходство между некоторые аспекты дифференциальной геометрии и вариационное исчисление было замечено несколько лет до опубликования диссертации Финслера, в частности Блаженством, Ландсберг и Блашке. Как Блаженство и Ландсберг ввел (distinct) определения угла в терминах инвариантов параметрической задачи по вариационному исчислению, в то время как аналитики изучение таких инвариантов были сделаны э. Нетер и А. Андерхилл. Но геометрической теории Блаженства и Ландсберг были разработаны против евклидова фоновом режиме и не может, следовательно, рассматриваться как выполнение истинные цели обобщение теоремы Римана предложение. Ясно, диссертации Финслера должны быть regared в качестве первого шага в этом направлении.  Несколько лет спустя, однако, общее развитие взял любопытно отвернуться от основных аспектов и методов теории, разработанной финслеровой. Последняя не воспользоваться тензорное исчисление, руководствуясь, в принципе, понятия вариационного исчисления; и в 1925 методами тензорного исчисления были применены к теории самостоятельно, но почти одновременно Synge, Тейлор и метрика Бервальда. Было установлено, что вторые производные половины площади F(x,dx) с учетом различий, dx, подаются превосходно, как компоненты метрического тензора, по аналогии с римановой геометрии и дифференциальных уравнений геодезических связи коэффициентами могут быть получены с помощью которого обобщение Леви-Чивита параллельного смещения могут быть определены. В то время как соответствующие ковариантные производные, представленный Synge и Тейлор совпадают, теории Бервальда показывает заметное различие в том смысле, что в его геометрии Лемма Риччи (который в римановой геометрии подразумевает исчезновение ковариантных производных метрического тензора) больше не действует. Тем не менее, Бервальда продолжал развивать свою теорию с конкретной привязкой к теории кривизны, а также двух-мерных пространств. Значение его работы была повышена за счет появления общую геометрию пути (обобщение так называемого Курение на всей территории римановой геометрии) из-за Дугласа и Knebelman, для первоначального подхода Бервальда таким, чтобы наладить тесное сродство между этими ветвями метрических и неметрических дифференциальной геометрии. Опять же, теории взял новый и неожиданный поворот в 1934 г., когда э. Картана опубликовал свой трактат о финслеровых пространств. Он показал, что это действительно возможно для определения коэффициентов связности и, следовательно, ковариантная производная такой, что сохранение Лемма Риччи был обеспечен. На этой основе Картана разработана теория кривизны, и практически все последующие расследования, касающиеся геометрия финслеровых пространств преобладали этот подход. Несколько математиков выразил мнение, что " теория, таким образом, достиг своей окончательной формы. В определенной степени это было правильное, но не совсем так, как теперь мы будем указывать.  Вышеупомянутых теорий использовать определенные устройства, которая в основном включает в себя рассмотрение пространство, элементами которого являются не точках, лежащих в основе коллектор, но строки-элементы позже, в какой форме (2n-1)-мерное многообразие. Это облегчает введение того, что Картана называет "евклидово связи", которые , посредством определенных постулатов, могут быть выведены исключительно из фундаментального метрического функция F(x, dx). Метод также зависит от того, введение так называемых "элементов поддержки", а именно, что в каждой точке ранее назначенного направлении должна быть предоставлена, которые затем подают asdirectional аргумент во всех функций в зависимости от направления, а также положение. Так, например, длины вектора и вектора, полученного от него бесконечно параллельного смещения зависит от произвольного выбора элемента поддержки. Это устройство, которое привело к развитию финслеровой геометрии с точки зрения прямого обобщения методы римановой геометрии. Чувствовалось, однако, что введение элементом поддержки было нежелательным, с геометрической точки зрения, в то время как естественную связь с вариационное исчисление была серьезно ослаблена. Такое мнение высказал независимо несколькими авторами, в частности Вагнера, буземан и настоящего писателя. Было подчеркнуто, что местные природные финслерова метрика пространства Минковского, и что произвольного наложения евклидовой метрики бы в какой-то степени скрывать некоторые из наиболее интересных особенностей в финслеровом пространстве. Таким образом, в начале нынешнего десятилетия дальнейшего теории были выдвинуты. Отказ от использования элемента поддержки, однако желательно с геометрической точки зрения, привело к новым трудностям: например, природные ортогональности между двумя векторами не в общей симметричной, в то время как аналитические трудности, конечно, расширены, в частности, с Лемма Риччи нельзя обобщить, как и прежде. К счастью, с точки зрения дифференциальных инвариантов, существуют отмечены сходство между всеми этими теориями, это совершенно естественное явление, и можно было ожидать. Именно в применении и интерпретации этих инвариантов, что две точки зрения кажутся непримиримыми.  Геометрия До греков Зарождение геометрии, окутанная туманами предыстории. Евы называет этот этап "подсознание геометрии". Позже люди стали узнавать определенные принципы, такие, как тот факт, что на окружности и диаметром кругах всегда в одинаковой пропорции. Евы называет этот этап "научно геометрии". Геометрия как наука, возможно, начались в Египте, где правители должны были измерить районах, областях с тем, чтобы оценить налоги на них. (Слово "геометрия" означает "земля измерения".) Московский папирус (19 Сен. BCE) и Rhind папирус (17 Сен. BCE) ясно, что Египтяне уже значительное количество геометрических знаний, по крайней мере, 4000 лет назад, а может и гораздо раньше, чем это. (Великая Пирамида в Гизе был построен около 5000 лет назад.) Многие методы, используемые для вычисления площадей и объемов были только приблизительно правильно. Один из самых замечательных результатов в Московский папирус правильный порядок расчета объема усеченной пирамиды (пирамида с вершиной отрезал.) Везде, где это возможно, появились во-первых, ясно, что некоторые существенные геометрии был разработан--вероятно, самостоятельно-в Египте, Месопотамии (Вавилония), Китай, Индия, а возможно, и в других местах и культур. Везде, где он разработал представляется вероятным, что данная разработка пришел на встречу с практическими потребностями геодезия, Машиностроение, и сельское хозяйство. Геометрия остался эмпирические и утилитарные, пока греки сделали из него науку, которая, может быть, и был, учился самостоятельно ее практического применения.  Геометрия в Греции Греков Классического Периода (600-300 до н.э.), не только увеличилось количество геометрии, они изменили саму природу предмета, и математики в целом. В некоторых греческих математиков побывал в Египте и Вавилонии и узнал все, что было известно из геометрии в тех местах. Они "превратили тему в нечто значительно отличаться от набора эмпирических выводов работали их предшественники. Греки настаивали на том, что геометрический факт должен быть создан не путем эмпирических процедур, но с помощью дедуктивного рассуждения; геометрические истины было быть получены в кабинете, а не в лаборатории." Они создали то, что мы можем назвать "демонстративное геометрии", чьи истины поддерживаются (дедуктивного) доказательства, а не только Индуктивные доказательства. Эта работа началась с, писатель, философ, математик назвал Thales в первой части 6 веке до нашей эры. Thales, кто побывал в Египте, "это первый известный конкретного человека, с которым использование дедуктивных методов в геометрии связано." Это аксиоматично-дедуктивный метод является краеугольным камнем современной математики, которые, таким образом, может быть действительно, говорят, началось с классической Греции. (Следует отметить, что и другие важные аспекты современной Западной цивилизации также найти свои корни в классической Греции.) Следующий важный имя Пифагора, который, возможно, учился у Фалеса. Он основал", - отмечается пифагорейской школы, братство вязать вместе с секретными и каббалистические обрядов и церемоний и стремится к изучению философии, математики и естествознания". Пифагора убеждение, что все объяснимо цифры могут рассматриваться как один из источников количественной акцент в современной науке. Пифагор, возможно, были первыми, чтобы обеспечить доказательство теоремы его имени, но результат был понят многими народами на протяжении многих веков. Демонстративное геометрия была значительно усовершенствованы Пифагора и его последователей.